solution

Mật mã Caesar mã hóa bằng cách dịch mỗi chữ cái bản rõ đi $k$ vị trí trong bảng chữ cái ($0 \le k \le 25$, $k$ là khóa). Khi không biết khóa, ta có thể phá mã tự động bằng phân tích tần suất: với mỗi khóa ứng viên $k$, giải mã bản mã bằng cách dịch ngược $k$ vị trí, rồi so sánh tần suất chữ cái của bản rõ ứng viên với bảng tần suất chuẩn của tiếng Anh bằng thống kê chi-bình phương:

$\chi^2(k) = \sum_{i=A}^{Z} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$

trong đó $O_i$ là số lần xuất hiện chữ cái $i$ trong bản rõ ứng viên (giải mã với khóa $k$), $E_i = p_i \times N$ với $p_i$ là tần suất chuẩn (đơn vị: tỉ lệ, lấy $\%$ chia 100) của chữ cái $i$ trong tiếng Anh (bảng bên dưới), $N$ là tổng số chữ cái trong bản mã. Khóa được chọn là khóa $k^*$ có $\chi^2(k)$ nhỏ nhất; nếu có nhiều khóa cùng đạt giá trị nhỏ nhất, chọn khóa $k$ nhỏ nhất trong số đó.

Bảng tần suất chuẩn của các chữ cái tiếng Anh (%):

Ví dụ: với bản mã YMJVZNHPGWTBSKTCOZRUXTAJWYMJQFEDITL (mã hóa từ câu THEQUICKBROWNFOXJUMPSOVERTHELAZYDOG với khóa $k=5$), thuật toán trên tìm được khóa $k^*=5$ và bản rõ tương ứng chính là THEQUICKBROWNFOXJUMPSOVERTHELAZYDOG.