solution

Diffie–Hellman hai bên có thể mở rộng cho ba bên Alice, Bob, Carol cùng thống nhất một khóa chung, thông qua giao thức vòng tròn 3 bước với tham số công khai $p$ (nguyên tố) và $g$. Alice, Bob, Carol có khóa bí mật lần lượt là $a, b, c$.

Bước 1: mỗi bên tự tính giá trị công khai của mình: $X_A = g^{a} \bmod p,\quad X_B = g^{b} \bmod p,\quad X_C = g^{c} \bmod p$

Bước 2: trao đổi vòng tròn Alice → Bob → Carol → Alice, mỗi bên mũ hóa giá trị vừa nhận được bằng khóa riêng của mình: $Y_A = X_C^{\,a} \bmod p,\quad Y_B = X_A^{\,b} \bmod p,\quad Y_C = X_B^{\,c} \bmod p$

Bước 3: tiếp tục trao đổi vòng tròn theo đúng thứ tự đó và mũ hóa lần cuối để ra khóa chung: $K_A = Y_C^{\,a} \bmod p,\quad K_B = Y_A^{\,b} \bmod p,\quad K_C = Y_B^{\,c} \bmod p$

Có thể chứng minh $K_A = K_B = K_C = g^{abc} \bmod p$. Cho $T$ bộ $(p, g, a, b, c)$, hãy tính khóa chung cuối cùng mà cả ba bên thu được.

Ví dụ: $p=23,\ g=5,\ a=3,\ b=4,\ c=5$ cho khóa chung bằng $3$.