Nội suy Fourier

Từ $n$ mẫu $x[0..n-1]$, đa thức lượng giác nội suy cho phép tính giá trị tại các vị trí giữa các mẫu:

$p(s) = \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} X[k]\, e^{j 2\pi \hat{k} s / n}$

trong đó $\hat{k}$ là tần số quy về khoảng $(-n/2, n/2]$ (đối xứng), và $X$ là DFT của $x$. Với hệ số upsample $m$, ta lấy $m\cdot n$ điểm tại $s = 0, \tfrac1m, \tfrac2m, \dots$. Tại các vị trí trùng mẫu ($s$ nguyên) giá trị bằng đúng $x[s]$.

Ví dụ

$x = [0, 1]$, $m = 2$: tại $s = 0$ được $0$, tại $s = 0.5$ được $0.5$, tại $s = 1$ được $1$, tại $s = 1.5$ được $0.5$.