solution

Có $n$ người, mỗi người sở hữu một tấm vé được đánh số riêng biệt từ $1$ đến $n$. Các tấm vé được xáo trộn ngẫu nhiên rồi phát ngẫu nhiên lại cho $n$ người (mỗi hoán vị của $n$ vé đồng khả năng xảy ra). Tính xác suất để có đúng $m$ người nhận lại được đúng vé mang số của chính mình (đúng $m$ điểm bất động trong hoán vị ngẫu nhiên).

Công thức: chọn $m$ người sẽ trùng vé bằng $\binom{n}{m}$ cách, $n-m$ người còn lại phải nhận vé sai của nhau — số cách là số hoán vị không điểm bất động (số mất thứ tự) $D(n-m)$, với $D(0)=1$, $D(1)=0$, $D(t) = (t-1)\big(D(t-1)+D(t-2)\big)$ với $t \ge 2$. Xác suất cần tìm: $P = \dfrac{\binom{n}{m} \, D(n-m)}{n!}.$

Quy ước $n=0, m=0$ cho $P=1$ (không ai, không vé, coi như "trùng khớp hoàn toàn" một cách hiển nhiên).

Ví dụ: $n=4, m=2$: $\binom{4}{2}=6$, $D(2)=1$, $P = 6/24 = 1/4$.