solution

Một người chơi bắt đầu với số vốn $k$ đơn vị và liên tục thực hiện các ván cược độc lập: mỗi ván, với xác suất $p=a/b$ vốn tăng thêm 1 đơn vị, với xác suất $q=1-p$ vốn giảm đi 1 đơn vị. Trò chơi dừng lại khi vốn đạt $N$ (thắng) hoặc về $0$ (phá sản), với $0 < k < N$.

Xác suất người chơi đạt $N$ trước khi về $0$ là:

$P_k = \begin{cases} \dfrac{1 - (q/p)^k}{1 - (q/p)^N} & \text{nếu } p \ne q \\[2mm] \dfrac{k}{N} & \text{nếu } p = q = 1/2 \end{cases}$

Hãy tính $P_k$ chính xác dưới dạng phân số tối giản.

Ví dụ: $a=2,\ b=3,\ k=1,\ N=3$ (tức $p=2/3$): $q/p = 1/2$, $P_1 = \dfrac{1-1/2}{1-1/8} = \dfrac{1/2}{7/8} = 4/7$.