solution

Có $n$ hộp, hộp thứ $i$ chứa $r_i$ bi đỏ và $x_i$ bi xanh. Chọn ngẫu nhiên đều một hộp trong $n$ hộp (xác suất $1/n$ mỗi hộp), sau đó từ hộp đã chọn, rút liên tiếp 2 bi không hoàn lại. Biết màu bi rút được ở lần 1 là $c_1$ và lần 2 là $c_2$ (mỗi $c \in \{D, X\}$, $D$ = đỏ, $X$ = xanh). Hãy tính xác suất hậu nghiệm đã chọn hộp thứ $k$ ban đầu, tức $P(\text{hộp}=k \mid \text{kết quả rút} = (c_1,c_2))$, sử dụng định lý Bayes kết hợp định lý xác suất toàn phần.

Nếu hộp $i$ không đủ bi để thực hiện dãy rút $(c_1,c_2)$ (ví dụ không còn màu cần rút, hoặc hộp có ít hơn 2 bi), coi khả năng $P((c_1,c_2)\mid \text{hộp }i) = 0$. Nếu tổng xác suất toàn phần của bằng chứng $(c_1,c_2)$ bằng 0 (không hộp nào có thể sinh ra dãy quan sát này), in UNDEFINED.

Ví dụ: $n=2$, hộp 1: 3 đỏ, 2 xanh; hộp 2: 1 đỏ, 4 xanh. Quan sát $(D, D)$. Hộp 2 chỉ có 1 bi đỏ nên không thể rút đỏ 2 lần liên tiếp $\Rightarrow$ khả năng của hộp 2 bằng 0. Do đó $P(\text{hộp}=1\mid (D,D)) = 1.0$.