solution

Có $n$ hộp, mỗi hộp chứa bi thuộc $k$ màu khác nhau (đánh số $1,\dots,k$). Ta chọn ngẫu nhiên một hộp theo phân phối tiên nghiệm cho trước $P(\text{hộp } i)$ với $i=1,\dots,n$ ($\sum_i P(\text{hộp }i)=1$), sau đó rút ngẫu nhiên một viên bi từ hộp đã chọn (mọi viên bi trong hộp có cùng khả năng được rút). Biết viên bi rút được có màu $c$, hãy tính xác suất hậu nghiệm hộp đã chọn là hộp $i$, với mọi $i=1,\dots,n$: $P(\text{hộp } i \mid \text{màu } c) = \frac{P(\text{hộp }i)\cdot \dfrac{s_{i,c}}{\sum_{j} s_{i,j}}}{\sum_{i'=1}^n P(\text{hộp }i')\cdot \dfrac{s_{i',c}}{\sum_{j} s_{i',j}}}$ trong đó $s_{i,j}$ là số bi màu $j$ trong hộp $i$. Nếu hộp $i$ rỗng (tổng số bi trong hộp bằng 0), quy ước xác suất rút được màu bất kỳ từ hộp đó bằng 0.

Ví dụ: $n=2,k=2$, $P(\text{hộp}) = (0.5,0.5)$, hộp 1 có $(3,7)$ bi màu $(1,2)$, hộp 2 có $(6,4)$. Rút được màu $1$. Khi đó $P(\text{hộp }1\mid \text{màu }1) = \dfrac{0.5\times0.3}{0.5\times0.3+0.5\times0.6} = 0.333333$.