solution

Xét ba biến ngẫu nhiên rời rạc $A, B, C$ tạo thành một xích Markov $A \to B \to C$, nghĩa là $C$ độc lập có điều kiện với $A$ khi biết $B$: $P(C\mid B,A) = P(C\mid B)$. Biến $A$ nhận $n_A$ giá trị, $B$ nhận $n_B$ giá trị, $C$ nhận $n_C$ giá trị (tất cả đánh số từ $1$). Cho phân phối tiên nghiệm $P(A)$, ma trận chuyển $P(B\mid A)$ (kích thước $n_A \times n_B$, mỗi hàng là một phân phối xác suất) và ma trận chuyển $P(C\mid B)$ (kích thước $n_B \times n_C$, mỗi hàng là một phân phối xác suất).

Với chỉ số truy vấn $a_0, c_0$, hãy tính xác suất hậu nghiệm $P(A=a_0\mid C=c_0)$ bằng cách áp dụng định lý Bayes kết hợp công thức xác suất toàn phần, biên hoá qua biến trung gian $B$: $P(C=c_0\mid A=i) = \sum_{b=1}^{n_B} P(B=b\mid A=i)\, P(C=c_0\mid B=b)$ $P(A=a_0\mid C=c_0) = \frac{P(A=a_0)\,P(C=c_0\mid A=a_0)}{\sum_{i=1}^{n_A} P(A=i)\,P(C=c_0\mid A=i)}$

Ví dụ: $n_A=n_B=n_C=2$, $P(A)=(0.5,0.5)$, $P(B\mid A{=}1)=(0.9,0.1)$, $P(B\mid A{=}2)=(0.2,0.8)$, $P(C\mid B{=}1)=(0.7,0.3)$, $P(C\mid B{=}2)=(0.1,0.9)$, truy vấn $(a_0,c_0)=(1,1)$ cho kết quả $0.744186$.