solution

Một hệ thống mạng gồm $n$ bộ định tuyến (router), đánh số từ $1$ đến $n$. Router thứ $i$ xử lý một lượng lưu lượng tỉ lệ với trọng số nguyên dương $w_i$ trong tổng lưu lượng — nghĩa là xác suất một gói tin ngẫu nhiên đi qua router $i$ là $P(R_i) = \dfrac{w_i}{\sum_{j=1}^n w_j}.$ Khi một gói tin đi qua router $i$, xác suất gói tin đó bị rớt (drop) là $p_i = a_i/b_i$ (một phân số với $0 \le a_i \le b_i$, $b_i \ge 1$), độc lập giữa các gói tin.

Gọi $D$ là biến cố "gói tin bị rớt". Biết một gói tin ngẫu nhiên bị rớt, hãy dùng công thức Bayes để tính $P(R_k \mid D)$ với $k$ cho trước, tức xác suất gói tin đó đã đi qua router thứ $k$.

Ví dụ: Với $n=2$: router 1 có $w_1=1$, $p_1=1/2$; router 2 có $w_2=1$, $p_2=1/4$; $k=1$. Ta có $P(R_1)=P(R_2)=1/2$, $P(D\mid R_1)=1/2$, $P(D\mid R_2)=1/4$, nên $P(D)=1/2\cdot1/2+1/2\cdot1/4=3/8$ và $P(R_1\mid D)=\dfrac{1/2\cdot1/2}{3/8}=\dfrac{2}{3}$.