solution

Một bệnh có tỷ lệ mắc trong dân số là $p$. Một bệnh nhân được thực hiện hai xét nghiệm khác nhau để chẩn đoán bệnh này:

• Xét nghiệm 1 có độ nhạy $se_1$ và độ đặc hiệu $sp_1$.
• Xét nghiệm 2 có độ nhạy $se_2$ và độ đặc hiệu $sp_2$.

Giả sử kết quả của hai xét nghiệm là độc lập có điều kiện khi biết tình trạng bệnh thực sự (mô hình Naive Bayes). Biết kết quả cụ thể của cả hai xét nghiệm (mỗi kết quả là duong hoặc am), hãy tính xác suất hậu nghiệm bệnh nhân thực sự mắc bệnh:

$P(\text{bệnh}\mid r_1, r_2) = \dfrac{p\cdot L_1(r_1)\cdot L_2(r_2)}{p\cdot L_1(r_1)\cdot L_2(r_2) + (1-p)\cdot \bar L_1(r_1)\cdot \bar L_2(r_2)}$

trong đó với mỗi xét nghiệm $j$: $L_j(\text{duong})=se_j$, $L_j(\text{am})=1-se_j$ (likelihood khi có bệnh), và $\bar L_j(\text{duong})=1-sp_j$, $\bar L_j(\text{am})=sp_j$ (likelihood khi không bệnh).

Ví dụ: $p=0.02$; test 1: $se_1=0.9, sp_1=0.9$; test 2: $se_2=0.95, sp_2=0.85$; kết quả duong duong $\Rightarrow$ tử số $=0.02\times0.9\times0.95=0.0171$, mẫu số $=0.0171+0.98\times0.1\times0.15=0.0318$, kết quả $\approx 0.537736$.