Bài tập | NEU OJ

Một hệ thống cần xác định cảm biến đang hoạt động đúng (giả thuyết $H$ ) hay bị lỗi (giả thuyết $\neg H$ ), với xác suất tiên nghiệm $P(H) = p_0$ .

Cảm biến thực hiện $n$ lần đo độc lập, mỗi lần cho kết quả OK hoặc BAD. Nếu cảm biến hoạt động đúng, xác suất đo được OK ở mỗi lần là $a$ (và BAD là $1-a$ ); nếu cảm biến bị lỗi, xác suất đo được OK là $b$ (và BAD là $1-b$ ).

Cho chuỗi $n$ kết quả đo theo thứ tự thời gian, hãy cập nhật tuần tự (sau mỗi lần đo, cập nhật lại hậu nghiệm rồi dùng làm tiên nghiệm cho lần đo kế tiếp) để tính xác suất hậu nghiệm cuối cùng $P(H \mid \text{toàn bộ chuỗi đo})$ bằng quy tắc Bayes:

$P(H \mid x) = \frac{P(H)\, P(x\mid H)}{P(H)\, P(x\mid H) + P(\neg H)\, P(x\mid \neg H)}$

Định dạng đầu vào:
Dòng 1: bốn số $p_0\ a\ b\ n$ trong đó $p_0, a, b \in [0,1]$ (tối đa 6 chữ số thập phân) và $n \ge 0$ là số lần đo. Dòng 2 (nếu $n>0$ ): $n$ token cách nhau bởi khoảng trắng, mỗi token là OK hoặc BAD, theo đúng thứ tự thời gian. Nếu $n=0$ thì có thể không có dòng này.
Định dạng đầu ra:
In ra một số thực duy nhất là xác suất hậu nghiệm cuối cùng $P(H\mid\text{dữ liệu})$ , làm tròn 6 chữ số thập phân. Nếu tại bước cập nhật nào đó mẫu số bằng 0 (dữ liệu không thể xảy ra dưới cả hai giả thuyết), in ra UNDEFINED.

solution

Đề bài: [Xác suất - Thống kê] Cập nhật Bayes tuần tự cho cảm biến