solution

Một sản phẩm có xác suất tiên nghiệm bị lỗi là $p_0$. Sản phẩm được đưa qua $k$ vòng kiểm định độc lập liên tiếp. Ở vòng thứ $i$, phép kiểm định có độ nhạy (sensitivity) $se_i = P(\text{dương tính} \mid \text{lỗi})$ và độ đặc hiệu (specificity) $sp_i = P(\text{âm tính}\mid \text{không lỗi})$. Kết quả quan sát được ở vòng $i$ là $r_i \in \{0,1\}$ ($1$ = dương tính, $0$ = âm tính).

Sau mỗi vòng, xác suất hậu nghiệm sản phẩm bị lỗi được tính bằng công thức Bayes, sử dụng hậu nghiệm của vòng trước làm tiên nghiệm cho vòng sau:

• Nếu $r_i = 1$: $p_i = \dfrac{se_i \cdot p_{i-1}}{se_i \cdot p_{i-1} + (1-sp_i)(1-p_{i-1})}$
• Nếu $r_i = 0$: $p_i = \dfrac{(1-se_i)\cdot p_{i-1}}{(1-se_i)\cdot p_{i-1} + sp_i (1-p_{i-1})}$

Hãy tính xác suất hậu nghiệm cuối cùng $p_k$ sau khi xét hết $k$ vòng. Nếu tại vòng nào đó mẫu số bằng 0 (kết quả quan sát được là bất khả thi theo mô hình), in UNDEFINED.

Ví dụ: $p_0=0.01$, $k=1$, vòng 1: $se=0.99$, $sp=0.99$, kết quả dương tính ($r=1$). Ta có $p_1 = \dfrac{0.99\times 0.01}{0.99\times0.01+0.01\times0.99} = 0.5$.