solution

Một bệnh nhân có xác suất tiên nghiệm mắc bệnh $D$ là $p = P(D)$. Bệnh nhân lần lượt thực hiện $n$ xét nghiệm độc lập (có thể là các loại xét nghiệm khác nhau, với độ nhạy/độ đặc hiệu khác nhau). Xét nghiệm thứ $k$ có:

• độ nhạy (sensitivity) $sens_k = P(\text{Dương tính}_k \mid D)$;
• độ đặc hiệu (specificity) $spec_k = P(\text{Âm tính}_k \mid \neg D)$;
• kết quả quan sát được $result_k \in \{0, 1\}$ ($1$ = dương tính, $0$ = âm tính).

Giả sử kết quả các xét nghiệm độc lập có điều kiện với nhau khi biết tình trạng bệnh (conditional independence). Hãy áp dụng quy tắc Bayes tuần tự: sau mỗi xét nghiệm, xác suất hậu nghiệm của bước trước trở thành xác suất tiên nghiệm của bước sau, theo công thức cập nhật

$P(D \mid \text{bằng chứng đến bước } k) = \frac{P(D \mid \text{đến bước } k-1) \cdot L_k}{P(D \mid \text{đến bước } k-1) \cdot L_k + \big(1 - P(D \mid \text{đến bước } k-1)\big) \cdot L'_k}$

trong đó nếu $result_k = 1$ thì $L_k = sens_k,\ L'_k = 1 - spec_k$; nếu $result_k = 0$ thì $L_k = 1 - sens_k,\ L'_k = spec_k$.

Quy ước: nếu $p = 0$, đầu ra luôn là $0$ (không có bằng chứng nào làm thay đổi được); nếu $p = 1$, đầu ra luôn là $1$. Nếu $n = 0$ (không có xét nghiệm nào) thì kết quả chính là $p$.

Ví dụ: $p = 0.5$, không có xét nghiệm nào ($n=0$) thì đầu ra là $0.500000$.