solution

Một bệnh nhân được cho biết xác suất tiên nghiệm mắc bệnh $H$ là $p_0$. Bệnh nhân lần lượt trải qua $k$ xét nghiệm độc lập có điều kiện cho trước bệnh (nghĩa là kết quả các xét nghiệm chỉ phụ thuộc vào việc bệnh nhân có bệnh hay không, và độc lập với nhau khi đã biết trạng thái bệnh). Xét nghiệm thứ $t$ ($t=1,\dots,k$) có độ nhạy $\text{se}_t = P(\text{dương tính} \mid H)$ và độ đặc hiệu $\text{sp}_t = P(\text{âm tính} \mid \overline{H})$, và cho kết quả quan sát $r_t \in \{0, 1\}$ ($1$ = dương tính, $0$ = âm tính).

Xác suất hậu nghiệm được cập nhật tuần tự: sau xét nghiệm thứ $t$, xác suất tiên nghiệm dùng cho xét nghiệm thứ $t+1$ chính là xác suất hậu nghiệm vừa tính được ở bước $t$ (theo công thức Bayes chuẩn, với $p$ là tiên nghiệm hiện tại):

• Nếu $r_t = 1$: $p \leftarrow \dfrac{p \cdot \text{se}_t}{p \cdot \text{se}_t + (1-p)(1-\text{sp}_t)}$
• Nếu $r_t = 0$: $p \leftarrow \dfrac{p (1-\text{se}_t)}{p (1-\text{se}_t) + (1-p)\, \text{sp}_t}$

Nếu mẫu số bằng $0$ ở một bước nào đó, quy ước xác suất hậu nghiệm bước đó bằng $0$.

Ví dụ: $p_0 = 0.01$, một xét nghiệm duy nhất với $\text{se}=0.9$, $\text{sp}=0.95$, kết quả dương tính ($r=1$): xác suất hậu nghiệm là $0.153846$.