solution

Cho chuỗi thời gian $y_1, \dots, y_n$ gồm nhiều chu kỳ mùa vụ độ dài $L$ (ví dụ $L=4$ cho dữ liệu quý, $L=12$ cho dữ liệu tháng, $n$ chia hết cho $L$). Hãy tính chỉ số mùa vụ $S_1,\dots,S_L$ bằng phương pháp tỷ số so với trung bình trượt (ratio-to-moving-average), thực hiện đúng theo các bước sau (đánh số vị trí $y$ bắt đầu từ $1$):

1. Tính dãy trung bình trượt bậc $L$ (chưa căn giữa): $MA_i = \dfrac{1}{L}\sum_{j=0}^{L-1} y_{i+j}$ cho $i = 1, \dots, n-L+1$.
2. Căn giữa (centering):
   • Nếu $L$ lẻ, $CMA$ chính là $MA$, với $CMA_i$ tương ứng vị trí gốc $i + \frac{L-1}{2}$.
   • Nếu $L$ chẵn, $CMA_i = \dfrac{MA_i + MA_{i+1}}{2}$, với $CMA_i$ tương ứng vị trí gốc $i + \frac{L}{2}$.
3. Với mỗi vị trí gốc $p$ có $CMA$ tương ứng, tính tỷ số $R_p = y_p / CMA_p$.
4. Nhóm các tỷ số $R_p$ theo vị trí mùa vụ $s = ((p-1) \bmod L) + 1$, tính trung bình cộng đơn giản của mỗi nhóm, được $\overline{R}_1, \dots, \overline{R}_L$.
5. Chuẩn hoá để tổng các chỉ số bằng $L$: $S_s = \overline{R}_s \times \dfrac{L}{\sum_{j=1}^L \overline{R}_j}$.

Ví dụ: với $L=2$, $n=4$, dãy $10, 20, 12, 22$: $MA_1=(10+20)/2=15$, $MA_2=(20+12)/2=16$, $MA_3=(12+22)/2=17$; $CMA_1=(15+16)/2=15.5$ (vị trí gốc $2$), $CMA_2=(16+17)/2=16.5$ (vị trí gốc $3$); $R_2 = 20/15.5$, $R_3=12/16.5$; nhóm mùa vụ $1$ (vị trí lẻ) chỉ có $R_3$, nhóm mùa vụ $2$ (vị trí chẵn) chỉ có $R_2$; sau chuẩn hoá kết quả là 0.7209 1.2791.