solution

Một chiếc hộp có $N$ viên bi, trong đó $R$ viên màu đỏ và $N-R$ viên màu xanh. Người ta rút lần lượt toàn bộ $N$ viên bi ra khỏi hộp theo thứ tự ngẫu nhiên đều (tương đương một hoán vị ngẫu nhiên đều của $N$ viên bi vào $N$ vị trí $1, 2, \dots, N$).

Với mỗi truy vấn gồm hai vị trí $i$ và $j$ ($1 \le i, j \le N$), gọi $C_j$ là biến cố "viên bi ở vị trí $j$ có màu đỏ". Hãy tính xác suất có điều kiện

$P(\text{viên bi ở vị trí } i \text{ màu đỏ} \mid C_j).$

Gợi ý lý thuyết (không cần chứng minh trong bài làm, chỉ cần áp dụng): do tính đối xứng hoán vị (exchangeability) của việc rút không hoàn lại, với $i \ne j$, giá trị này không phụ thuộc vào vị trí cụ thể của $i, j$ mà chỉ phụ thuộc vào $N, R$, cụ thể bằng $\dfrac{R-1}{N-1}$ (khi $R \ge 1$, $N \ge 2$). Khi $i = j$, xác suất điều kiện hiển nhiên bằng $1$ (nếu $R \ge 1$). Nếu $R = 0$ thì biến cố $C_j$ không thể xảy ra; theo quy ước của bài, trong trường hợp này luôn in ra $0/1$ bất kể $i, j$.

Kết quả in ra dưới dạng phân số tối giản.

Ví dụ: $N=5$, $R=2$: truy vấn $(i,j)=(1,1)$ cho $1/1$; truy vấn $(1,2)$ cho $\frac{R-1}{N-1} = \frac{1}{4}$.