solution

Trong hồi quy tuyến tính $\hat{\mathbf y} = X\mathbf b$ với $X$ là ma trận thiết kế (cột 1 cho hệ số chặn, cột $x_1$, cột $x_2$), ma trận mũ (hat matrix) $H = X(X^TX)^{-1}X^T$ chiếu vector quan sát $\mathbf y$ thành vector dự báo $\hat{\mathbf y}$. Phần tử trên đường chéo $h_{ii}$ gọi là đòn bẩy (leverage) của quan sát thứ $i$: nó đo mức độ quan sát đó có khả năng ảnh hưởng đến giá trị dự báo của chính nó, không phụ thuộc vào $y$ mà chỉ phụ thuộc vào vị trí của $(x_{1i},x_{2i})$ trong không gian biến độc lập. Cụ thể, gọi $\mathbf x_i = (1, x_{1i}, x_{2i})^T$ là hàng thứ $i$ của $X$ (dưới dạng vector cột), ta có:

$h_{ii} = \mathbf x_i^T (X^TX)^{-1} \mathbf x_i$

Tính chất: $0 \le h_{ii} \le 1$ và $\sum_{i=1}^n h_{ii} = p$ với $p=3$ (số tham số, kể cả hệ số chặn).

Cho $n$ quan sát $(x_{1i},x_{2i})$ (không có $y$, vì đòn bẩy chỉ phụ thuộc $X$), hãy tính $h_{ii}$ cho từng quan sát theo đúng thứ tự nhập vào.

Ví dụ: với 4 quan sát $(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)$ (hình vuông đơn vị), mọi $h_{ii}=0.7500$ và tổng bằng $3.0000=p$.