solution

Xét $n$ phép thử Bernoulli độc lập nhưng không nhất thiết cùng xác suất thành công: phép thử thứ $i$ ($i=1,\dots,n$) có xác suất thành công $p_i$ (số thực trong $[0,1]$, cho với đúng 6 chữ số thập phân). Gọi $X$ là tổng số phép thử thành công — $X$ có phân phối Poisson nhị thức (Poisson binomial distribution) trên $\{0, 1, \dots, n\}$.

Hãy tính:

1. Xác suất $P(X = k_0)$ với $k_0$ cho trước ($0 \le k_0 \le n$).
2. Entropy (đơn vị bit) của $X$: $H(X) = -\sum_{k=0}^{n} P(X=k) \log_2 P(X=k)$ với quy ước $0 \log_2 0 = 0$.

Ví dụ: $n=1$, $p_1 = 0.5$, $k_0=0$. Khi đó $X \sim \text{Bernoulli}(0.5)$: $P(X=0)=0.5$ và $H(X) = -0.5\log_2 0.5 - 0.5\log_2 0.5 = 1.0$ bit.

Input:

1
0.5
0

Output:

0.500000
1.000000