solution

Cho $k$ nhóm (category) được sắp theo một thứ tự cố định, với tần số quan sát $O_1,\dots,O_k$ (số nguyên không âm) và xác suất kỳ vọng theo giả thuyết $H_0$ là $p_1,\dots,p_k$ ($p_i>0$, $\sum p_i = 1$). Đặt $N=\sum O_i$, tần số kỳ vọng $E_i = N p_i$.

Kiểm định Chi-bình phương phù hợp chỉ đáng tin cậy khi tần số kỳ vọng mỗi nhóm không quá nhỏ, nên trước khi tính thống kê, hãy gộp các nhóm liền kề theo đúng thuật toán sau:

1. Duyệt các nhóm từ $1$ đến $k$ theo thứ tự, cộng dồn $O$ và $E$ vào một "cụm" đang mở. Ngay khi tổng $E$ tích lũy của cụm hiện tại $\ge 5$ (hoặc đã duyệt đến nhóm cuối cùng $k$), chốt cụm này thành một nhóm mới và mở một cụm rỗng tiếp theo.
2. Sau khi duyệt hết, nếu cụm được chốt cuối cùng có tổng $E < 5$ và trước đó đã có ít nhất một cụm khác được chốt, hãy gộp cụm cuối này vào cụm được chốt ngay trước nó (cộng dồn $O$ và $E$).

Gọi $m$ là số nhóm còn lại sau khi gộp, với tần số $O'_1,\dots,O'_m$ và $E'_1,\dots,E'_m$ tương ứng. Tính:

$\chi^2 = \sum_{i=1}^{m} \frac{(O'_i - E'_i)^2}{E'_i}, \qquad df = m - 1$

Ví dụ: $k=5$, $O = 1, 4, 55, 35, 5$, $p = 0.02, 0.03, 0.5, 0.4, 0.05$ ($N=100$ nên $E=2,3,50,40,5$). Nhóm 1 ($E=2<5$) gộp với nhóm 2 ($E$ tích lũy $=5\ge5$) thành cụm $(O{=}5, E{=}5)$; nhóm 3,4,5 tự chốt riêng ($E=50,40,5$ đều $\ge5$). Kết quả $m=4$, $\chi^2 = 1.1250$, $df=3$.