Các lượt nộp
    Danh sách bài
    Trang chủ
    Báo lỗi

    solution

    Đề bài: [Xác suất - Thống kê] Hậu nghiệm Beta-Binomial chính xác qua nhiều đợt kiểm tra

    Tỷ lệ lỗi θ∈(0,1)\theta \in (0,1)θ∈(0,1) của một dây chuyền sản xuất được mô hình hoá bằng phân phối tiên nghiệm Beta(α0,β0)\text{Beta}(\alpha_0, \beta_0)Beta(α0​,β0​) với α0,β0\alpha_0, \beta_0α0​,β0​ là các số nguyên dương. Qua kkk đợt kiểm tra độc lập, đợt thứ iii quan sát được sis_isi​ sản phẩm lỗi trong tổng số tit_iti​ sản phẩm kiểm tra (0≤si≤ti0 \le s_i \le t_i0≤si​≤ti​).

    Vì phân phối Beta liên hợp (conjugate) với phân phối Binomial, hậu nghiệm sau khi quan sát toàn bộ kkk đợt vẫn là một phân phối Beta với tham số:

    α=α0+∑i=1ksi,β=β0+∑i=1k(ti−si)\alpha = \alpha_0 + \sum_{i=1}^k s_i, \qquad \beta = \beta_0 + \sum_{i=1}^k (t_i - s_i)α=α0​+∑i=1k​si​,β=β0​+∑i=1k​(ti​−si​)

    Cho ngưỡng x=p/qx = p/qx=p/q (với p,qp, qp,q nguyên, 0≤p≤q0 \le p \le q0≤p≤q, q>0q > 0q>0). Vì α,β\alpha, \betaα,β đều là số nguyên dương, hàm phân phối tích luỹ của Beta(α,β)\text{Beta}(\alpha,\beta)Beta(α,β) tại xxx có công thức đóng dùng tổ hợp:

    F(x)=∑i=αα+β−1(α+β−1i)xi(1−x)α+β−1−iF(x) = \sum_{i=\alpha}^{\alpha+\beta-1} \binom{\alpha+\beta-1}{i} x^i (1-x)^{\alpha+\beta-1-i}F(x)=∑i=αα+β−1​(iα+β−1​)xi(1−x)α+β−1−i

    Hãy tính chính xác (bằng số học phân số, không dùng xấp xỉ số thực) xác suất hậu nghiệm P(θ>x)=1−F(x)P(\theta > x) = 1 - F(x)P(θ>x)=1−F(x).

    • Định dạng đầu vào:

      Dòng 1: ba số nguyên α0 β0 k\alpha_0\ \beta_0\ kα0​ β0​ k (α0,β0≥1\alpha_0, \beta_0 \ge 1α0​,β0​≥1, k≥0k \ge 0k≥0). kkk dòng tiếp theo: mỗi dòng hai số nguyên si tis_i\ t_isi​ ti​ (0≤si≤ti0 \le s_i \le t_i0≤si​≤ti​). Dòng cuối: hai số nguyên p qp\ qp q xác định ngưỡng x=p/qx = p/qx=p/q (0≤p≤q0 \le p \le q0≤p≤q, q≥1q \ge 1q≥1).

    • Định dạng đầu ra:

      In ra một số thực duy nhất là P(θ>x)P(\theta > x)P(θ>x), biểu diễn dưới dạng thập phân với đúng 10 chữ số sau dấu phẩy (ví dụ 0.3437500000), được làm tròn chính xác từ giá trị phân số (không sai số dấu phẩy động).

    Ví dụ:

    Đầu vào:

    1 1 1
2 5
1 2

    Đầu ra:

    0.3437500000

    Đầu vào:

    2 3 0
0 1

    Đầu ra:

    1.0000000000

    Đang tải editor...