solution

Cho $n$ cặp quan sát $(x_i,y_i)$, $i=1,\ldots,n$. Xét mọi cặp chỉ số $(i,j)$ với $i<j$ (có $\binom n2$ cặp như vậy). Một cặp được gọi là:

• Đồng biến (concordant) nếu $(x_i-x_j)(y_i-y_j) > 0$,
• Nghịch biến (discordant) nếu $(x_i-x_j)(y_i-y_j) < 0$,
• còn lại (tích bằng 0, do $x_i=x_j$ hoặc $y_i=y_j$) không thuộc hai loại trên.

Gọi $C$ = số cặp đồng biến, $D$ = số cặp nghịch biến, $n_0=\binom n2$. Gọi $n_x = \sum_g \binom{t^x_g}{2}$ (tổng theo các nhóm giá trị trùng nhau của dãy $x$, $t^x_g$ là kích thước nhóm), tương tự $n_y$ cho dãy $y$.

Hệ số tương quan hạng Kendall (tau-b): $\tau_b = \frac{C-D}{\sqrt{(n_0-n_x)(n_0-n_y)}}$ Nếu $(n_0-n_x)(n_0-n_y) \le 0$ (mẫu số không xác định hoặc bằng 0), in khong xac dinh thay cho $\tau_b$.

Kiểm định ý nghĩa dùng xấp xỉ chuẩn (không hiệu chỉnh trùng, áp dụng cho mọi $n\ge 2$ theo yêu cầu bài toán): $z = \frac{3(C-D)}{\sqrt{n(n-1)(2n+5)}}, \qquad p = 2\left(1-\Phi(|z|)\right)$ Nếu $n<2$, in khong xac dinh thay cho dòng $z,p$.

Ví dụ: $n=5$, $x=(1,2,3,4,5)$, $y=(2,4,6,8,10)$: mọi cặp đều đồng biến (không trùng) nên $C=10, D=0$, $\tau_b=1.0$.