solution

Cho hai biến ngẫu nhiên rời rạc $X$ (nhận $m$ giá trị $x_1,\ldots,x_m$) và $Y$ (nhận $n$ giá trị $y_1,\ldots,y_n$) có bảng phân phối xác suất đồng thời $p_{ij} = P(X=x_i, Y=y_j)$. Hãy tính hiệp phương sai $\mathrm{Cov}(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$ và kết luận $X,Y$ có độc lập hay không (độc lập khi và chỉ khi $p_{ij} = P(X=x_i)P(Y=y_j)$ với mọi $i,j$, cho phép sai số tuyệt đối $10^{-6}$).

Ví dụ: $X,Y \in \{0,1\}$ với $p_{00}=p_{01}=p_{10}=p_{11}=0.25$. Đây là hai biến độc lập, $\mathrm{Cov}(X,Y)=0$.