Bài tập | NEU OJ

Cho biến ngẫu nhiên rời rạc hai chiều $(X,Y)$ . Biến $X$ nhận các giá trị nguyên $x_1 < x_2 < \cdots < x_n$ , biến $Y$ nhận các giá trị nguyên $y_1 < y_2 < \cdots < y_m$ . Phân phối đồng thời được cho qua bảng trọng số nguyên không âm $c_{ij}$ ( $i=1..n,\ j=1..m$ ):

$P(X=x_i, Y=y_j) = \frac{c_{ij}}{S}, \qquad S = \sum_{i,j} c_{ij} > 0.$

Hãy tính:

$\mathrm{Cov}(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y]$
$\rho(X,Y) = \dfrac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y}$ (hệ số tương quan Pearson)

Quy ước: nếu $X$ hoặc $Y$ suy biến (phương sai bằng 0, tức là hằng số) thì lấy $\rho = 0$ để tránh chia cho 0.

Ví dụ: với bảng $2\times2$ , $x=(0,1)$ , $y=(0,1)$ , $c = \begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$ (X, Y độc lập, đều), ta có $\mathrm{Cov}=0$ , $\rho=0$ , in ra 0.000000 0.000000.

Định dạng đầu vào:
- Dòng 1: hai số nguyên $n\ m$ ( $1 \le n, m \le 6$ ).
- Dòng 2: $n$ số nguyên $x_1\ \ldots\ x_n$ tăng dần ( $-100 \le x_i \le 100$ ).
- Dòng 3: $m$ số nguyên $y_1\ \ldots\ y_m$ tăng dần ( $-100 \le y_j \le 100$ ).
- $n$ dòng tiếp theo, dòng thứ $i$ gồm $m$ số nguyên không âm $c_{i1}\ \ldots\ c_{im}$ ( $0 \le c_{ij} \le 1000$ , tổng tất cả $c_{ij} > 0$ ).
Định dạng đầu ra:
In ra một dòng gồm 2 số thực $\mathrm{Cov}(X,Y)$ và $\rho(X,Y)$ cách nhau một khoảng trắng, mỗi số làm tròn đến đúng 6 chữ số thập phân.

solution

Đề bài: [Xác suất - Thống kê] Hiệp phương sai và tương quan từ phân phối đồng thời