solution

Cho $n$ quan sát $(x_{1,i}, x_{2,i}, y_i)$. Xét mô hình hồi quy tuyến tính bội

$y = \beta_0 + \beta_1 x_1 + \beta_2 x_2.$

Các hệ số $\beta_0, \beta_1, \beta_2$ được ước lượng bằng bình phương tối thiểu, tức là nghiệm của hệ phương trình chuẩn (normal equations) $X^T X \boldsymbol{\beta} = X^T \mathbf{y}$, cụ thể:

$\begin{cases} n\beta_0 + \beta_1\sum x_{1,i} + \beta_2 \sum x_{2,i} = \sum y_i \\ \beta_0 \sum x_{1,i} + \beta_1 \sum x_{1,i}^2 + \beta_2 \sum x_{1,i}x_{2,i} = \sum x_{1,i} y_i \\ \beta_0 \sum x_{2,i} + \beta_1 \sum x_{1,i}x_{2,i} + \beta_2 \sum x_{2,i}^2 = \sum x_{2,i} y_i \end{cases}$

Đề bài đảm bảo hệ có nghiệm duy nhất (ma trận $X^TX$ khả nghịch).

Ví dụ: Với dữ liệu khớp đúng mô hình $y = 1 + 2x_1 + 3x_2$ tại 4 điểm $(1,1,6),(2,1,8),(1,2,9),(2,2,11)$, kết quả là $\beta_0=1.0000, \beta_1=2.0000, \beta_2=3.0000$.