solution

Bộ phận marketing thu thập $n$ cặp dữ liệu $(x_i, y_i)$ trong đó $x_i$ là chi phí quảng cáo (triệu đồng) và $y_i$ là doanh thu (triệu đồng) tương ứng trong tháng $i$. Hãy xây dựng đường hồi quy tuyến tính $y = a x + b$ theo phương pháp bình phương nhỏ nhất (least squares):

$a = \dfrac{\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum (x_i-\bar{x})^2}, \quad b = \bar{y} - a\bar{x}$

Tính thêm hệ số tương quan Pearson $r = \dfrac{\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i-\bar{x})^2 \sum (y_i-\bar{y})^2}}$ và hệ số xác định $R^2 = r^2$. Quy ước: nếu tất cả $x_i$ bằng nhau, $a=0$, $b=\bar y$; nếu tất cả $y_i$ bằng nhau (hoặc tất cả $x_i$ bằng nhau) thì $r = 0$.

Sau đó dự đoán doanh thu cho $m$ mức chi phí quảng cáo mới $x'_1, \ldots, x'_m$ theo công thức $y' = a x' + b$.

Ví dụ: với 2 điểm $(1,3)$ và $(2,5)$: $a=2, b=1$, $r=1, R^2=1$; dự đoán tại $x'=3$ cho $y'=7$.