solution

Trong thực tế, các quan sát $(x_i,y_i)$, $i=1,\dots,n$ có thể có độ tin cậy khác nhau, thể hiện qua trọng số $w_i \ge 0$ (quan sát đáng tin hơn có trọng số lớn hơn). Hồi quy tuyến tính có trọng số (weighted least squares) tìm $b_0,b_1$ cực tiểu hoá $\sum_i w_i (y_i-b_0-b_1x_i)^2$, cho bởi:

$\bar x_w=\dfrac{\sum w_ix_i}{\sum w_i},\quad \bar y_w=\dfrac{\sum w_iy_i}{\sum w_i}$ $b_1=\dfrac{\sum w_i(x_i-\bar x_w)(y_i-\bar y_w)}{\sum w_i(x_i-\bar x_w)^2},\qquad b_0=\bar y_w-b_1\bar x_w$

Nếu $n<2$, tổng trọng số $\sum w_i \le 0$, hoặc mẫu số $\sum w_i(x_i-\bar x_w)^2 = 0$ (không xác định được $b_1$), chỉ in KHONG_XAC_DINH.

Ví dụ: khi tất cả trọng số bằng nhau, kết quả trùng với hồi quy bình phương nhỏ nhất thông thường: với $w=(1,1,1,1,1)$, $x=(1,2,3,4,5)$, $y=(2,4,5,4,5)$ ta được $b_0=2.2000$, $b_1=0.6000$.