solution

Cho $n$ cặp số liệu quan sát $(x_i, y_i)$. Xây dựng đường hồi quy tuyến tính đơn biến $y = a + bx$ theo phương pháp bình phương tối thiểu:

$b = \dfrac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum (x_i - \bar{x})^2}, \qquad a = \bar{y} - b\bar{x}$

Hệ số xác định (coefficient of determination) đo mức độ phù hợp của mô hình:

$R^2 = 1 - \dfrac{SS_{res}}{SS_{tot}}, \qquad SS_{res} = \sum (y_i - \hat{y}_i)^2, \qquad SS_{tot} = \sum (y_i - \bar{y})^2$

với $\hat{y}_i = a + bx_i$.

Quy ước xử lý trường hợp đặc biệt:

• Nếu $n < 2$ hoặc tất cả $x_i$ bằng nhau ($\sum (x_i-\bar x)^2 = 0$, không xác định được $a, b$): in ra đúng một dòng KHONG XAC DINH.
• Nếu tất cả $y_i$ bằng nhau ($SS_{tot} = 0$) thì $a, b$ vẫn tính bình thường; quy ước $R^2 = 1$ nếu mô hình khớp hoàn toàn ($SS_{res} \approx 0$), ngược lại in KHONG XAC DINH chỉ cho dòng $R^2$ (dòng $a$, $b$ vẫn in bình thường).

Ví dụ: $n=4$, $(x,y)$ = $(1,3),(2,5),(3,7),(4,9)$: đây là quan hệ $y=2x+1$ hoàn hảo nên $a=1.0000$, $b=2.0000$, $R^2=1.0000$.