solution

Cho một mẫu ngẫu nhiên có trung bình mẫu $\bar x$, độ lệch chuẩn $s$ (xem như đã biết, đóng vai trò $\sigma$), kích thước $n$. Theo Định lý giới hạn trung tâm, $\bar X \sim N\!\left(\mu, \dfrac{s^2}{n}\right)$ (xấp xỉ). Với độ tin cậy $c\%$ bất kỳ trong khoảng $(0, 100)$ (không nhất thiết là 90, 95 hay 99), khoảng tin cậy hai phía cho $\mu$ là:

$\left(\bar x - z\cdot\frac{s}{\sqrt n},\ \ \bar x + z\cdot\frac{s}{\sqrt n}\right)$

trong đó $z > 0$ là số thỏa $\Phi(z) - \Phi(-z) = c/100$, tức $\Phi(z) = \dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{c}{100}\right)$, với $\Phi$ là CDF chuẩn tắc $N(0,1)$ (vì $c$ tùy ý nên $z$ không tra được từ bảng chuẩn thông thường, cần tính bằng cách giải phương trình trên).

Ví dụ: $\bar x=50$, $s=10$, $n=25$, $c=95$. Ta có $z\approx1.959964$, biên sai số $=1.959964\times10/5\approx3.9199$, khoảng tin cậy là $(46.0801,\ 53.9199)$.