solution

Cho một dãy $n$ số thực quan sát theo thứ tự thời gian $v_1,\ldots,v_n$. Ta muốn kiểm định tính ngẫu nhiên của dãy bằng kiểm định chạy (Runs Test) so với trung vị.

Tính trung vị mẫu $M$: sắp xếp dãy tăng dần; nếu $n$ lẻ, $M$ là phần tử ở giữa; nếu $n$ chẵn, $M$ là trung bình cộng hai phần tử giữa.

Loại bỏ khỏi dãy các phần tử có $v_i = M$ (giữ nguyên thứ tự các phần tử còn lại). Với mỗi phần tử còn lại, gán nhãn + nếu $v_i > M$, - nếu $v_i < M$. Đếm:

• $n_1$ = số nhãn +, $n_2$ = số nhãn -,
• $r$ = số "runs" — số đoạn con liên tiếp gồm cùng một nhãn (ví dụ dãy + + - - - + có $r=3$ runs).

Quy ước biên: nếu $n_1=0$ hoặc $n_2=0$ (mọi phần tử còn lại cùng một phía, hoặc không còn phần tử nào), in ra $n_1, n_2$ và số lượng phần tử còn lại (là $n_1+n_2$), sau đó in khong xac dinh và Khong xac dinh.

Ngược lại, tính: $\mu_r = \frac{2n_1n_2}{n_1+n_2}+1, \qquad \sigma_r^2 = \frac{2n_1n_2(2n_1n_2-n_1-n_2)}{(n_1+n_2)^2(n_1+n_2-1)}$

Thống kê chuẩn hoá (hiệu chỉnh liên tục 0.5), dựa theo dấu của $r-\mu_r$ (giống công thức các bài trước), $p=2(1-\Phi(|z|))$.

Kết luận: nếu $p<\alpha$: Bac bo tinh ngau nhien, ngược lại Khong bac bo tinh ngau nhien.

Ví dụ: dãy 1 2 3 4 5 6 7 8 ($n=8$), trung vị $M=4.5$, không phần tử nào bằng $M$; nhãn: - - - - + + + + $\Rightarrow n_1=4, n_2=4, r=2$.