solution

Kiểm định dấu hạng Wilcoxon (Wilcoxon signed-rank test) so sánh hai mẫu bắt cặp, có xét đến độ lớn của chênh lệch (không chỉ dấu như sign test).

Cho $n$ cặp $(x_i, y_i)$. Đặt $d_i = y_i - x_i$. Loại bỏ các cặp có $d_i = 0$, còn lại $m$ cặp. Xếp hạng (rank) các giá trị $|d_i|$ tăng dần trong $m$ cặp còn lại (giá trị trùng nhận hạng trung bình — average rank, hạng nhỏ nhất là 1).

Tính: $W_+ = \sum_{i:\, d_i>0} \text{rank}(|d_i|), \qquad W_- = \sum_{i:\, d_i<0} \text{rank}(|d_i|)$

Quy ước: nếu $m=0$ thì $W_+ = W_- = 0$.

Yêu cầu: Tính $W_+$ và $W_-$.

Ví dụ: Các cặp $(10,12),(8,7),(20,25),(9,9),(5,3)$: $d=(2,-1,5,0,-2)$. Loại cặp thứ 4 ($d=0$), còn $m=4$ với $|d|=(2,1,5,2)$. Xếp hạng: $1\to$ hạng 1; hai giá trị bằng $2$ cùng chiếm các hạng 2 và 3 nên nhận hạng trung bình $2.5$; $5\to$ hạng 4. Vậy $d_1=2>0$ (rank 2.5), $d_2=-1<0$ (rank 1), $d_3=5>0$ (rank 4), $d_5=-2<0$ (rank 2.5). Suy ra $W_+ = 2.5+4=6.5$, $W_- = 1+2.5=3.5$.