solution

Trong thống kê phi tham số, kiểm định dấu (sign test) được dùng để so sánh hai mẫu bắt cặp (paired samples) mà không cần giả định về dạng phân phối.

Cho $n$ cặp quan sát $(x_i, y_i)$, $i=1,\dots,n$. Đặt $d_i = y_i - x_i$.

• Nếu $d_i > 0$: ghi nhận một dấu "+".
• Nếu $d_i < 0$: ghi nhận một dấu "-".
• Nếu $d_i = 0$: loại bỏ cặp này khỏi kiểm định.

Gọi $n_+$ là số dấu "+", $n_-$ là số dấu "-", $m = n_+ + n_-$ (số cặp có hiệu khác 0). Thống kê kiểm định dấu là $S = \min(n_+, n_-)$.

Giá trị $p$ hai phía được tính chính xác theo phân phối nhị thức $\text{Binomial}(m, 0.5)$: $p = \min\left(1,\ 2\sum_{k=0}^{S} \binom{m}{k} 0.5^m\right)$

Quy ước: nếu $m = 0$ (không có cặp nào khác 0) thì $p = 1$.

Yêu cầu: Đọc $n$ cặp $(x_i, y_i)$, tính $n_+$, $n_-$, $m$, $S$ và $p$.

Ví dụ: Với 5 cặp $(10,12), (8,7), (15,15), (20,25), (9,9)$: $d = (2,-1,0,5,0)$, suy ra $n_+=2$, $n_-=1$, $m=3$, $S=1$. Khi đó $p = 2\sum_{k=0}^{1}\binom{3}{k}0.5^3 = 2 \cdot \dfrac{1+3}{8} = 1.000000$.