solution

Một khảo sát mức độ hài lòng được thực hiện tại $r$ cơ sở đào tạo khác nhau, với $c$ mức hài lòng có thể chọn. Kết quả được tổng hợp thành bảng chéo (contingency table) $r \times c$ gồm các số đếm $O_{ij}$ ($i=1..r$, $j=1..c$) - số người ở cơ sở $i$ chọn mức hài lòng $j$.

Ta muốn kiểm định giả thuyết $H_0$: "cơ sở đào tạo và mức hài lòng độc lập với nhau". Gọi $R_i = \sum_j O_{ij}$ (tổng dòng $i$), $C_j = \sum_i O_{ij}$ (tổng cột $j$), $N = \sum_i R_i$. Tần số kỳ vọng dưới $H_0$ là $E_{ij} = \dfrac{R_i \cdot C_j}{N}$.

Thống kê kiểm định: $\chi^2 = \sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{c} \frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}}, \qquad df=(r-1)(c-1)$

Đề bài cho sẵn giá trị tới hạn $\chi^2_{crit}$ (đã tra bảng phân phối Chi-bình phương ở mức ý nghĩa mong muốn, ứng đúng với $df$ của bảng). Kết luận: nếu $\chi^2 > \chi^2_{crit}$ thì bác bỏ $H_0$, ngược lại (kể cả bằng) thì chấp nhận $H_0$.

Ví dụ: bảng $2\times 2$ với hàng $(30,10)$ và $(20,40)$, $\chi^2_{crit}=3.841$ cho ra $\chi^2=16.6667$, $df=1$, kết luận "Bác bỏ H0".