solution

Kiểm định hạng có dấu Wilcoxon (Wilcoxon Signed-Rank Test) mạnh hơn kiểm định dấu vì nó dùng cả độ lớn lẫn dấu của hiệu số ghép cặp, không chỉ dấu.

Cho $n$ cặp $(x_i, y_i)$ (trước, sau). Đặt $d_i = y_i - x_i$, loại bỏ các cặp có $d_i = 0$, còn lại $n'$ cặp. Xếp hạng các trị tuyệt đối $|d_i|$ theo thứ tự tăng dần, dùng hạng trung bình (midrank) khi có nhiều $|d_i|$ bằng nhau. Gọi:

• $W^+$ = tổng các hạng ứng với $d_i > 0$,
• $W^-$ = tổng các hạng ứng với $d_i < 0$ (có $W^+ + W^- = \frac{n'(n'+1)}{2}$).

Dưới $H_0$ (không có khác biệt hệ thống), xấp xỉ chuẩn của $W^+$ có: $\mu = \frac{n'(n'+1)}{4}, \qquad \sigma^2 = \frac{n'(n'+1)(2n'+1)}{24} - \frac{\sum_j (t_j^3 - t_j)}{48}$ với $t_j$ là số phần tử trong nhóm trùng thứ $j$ của các $|d_i|$ (hiệu chỉnh do trùng hạng).

Thống kê kiểm định chuẩn hoá, có hiệu chỉnh liên tục (continuity correction): $Z = \begin{cases}\dfrac{(W^+-\mu) - 0.5}{\sigma} & \text{nếu } W^+ > \mu\\[4pt] \dfrac{(W^+-\mu) + 0.5}{\sigma} & \text{nếu } W^+ < \mu\\[4pt] 0 & \text{nếu } W^+ = \mu\end{cases}$

Nếu $n' = 0$ hoặc $\sigma^2 \le 0$, $Z$ được coi là không xác định.