solution

Kiểm định Kolmogorov-Smirnov (KS) một mẫu so sánh hàm phân phối thực nghiệm (empirical CDF) của một mẫu với hàm phân phối lý thuyết của một phân phối liên tục cho trước.

Cho mẫu gồm $n$ quan sát $x_1,\dots,x_n$ và một đoạn $[a,b]$ ($a<b$); phân phối lý thuyết là phân phối đều liên tục trên $[a,b]$ với hàm phân phối: $F(x) = \frac{x-a}{b-a}, \quad a \le x \le b$

Sắp xếp mẫu tăng dần thành $x_{(1)} \le x_{(2)} \le \dots \le x_{(n)}$. Định nghĩa: $D^+ = \max_{1\le i\le n}\left(\frac{i}{n} - F(x_{(i)})\right), \qquad D^- = \max_{1\le i\le n}\left(F(x_{(i)}) - \frac{i-1}{n}\right)$

Thống kê KS: $D = \max(D^+, D^-)$.

Yêu cầu: Đọc $a$, $b$ và mẫu $x_1,\dots,x_n$ (đảm bảo $a \le x_i \le b$ với mọi $i$), tính $D$.

Ví dụ: $a=0, b=10$, mẫu $(1,2,5,8,9)$ ($n=5$). Giá trị $F$: $0.1,0.2,0.5,0.8,0.9$. Giá trị $i/n$: $0.2,0.4,0.6,0.8,1.0$; suy ra $D^+=\max(0.1,0.2,0.1,0,0.1)=0.2$. Giá trị $(i-1)/n$: $0,0.2,0.4,0.6,0.8$; suy ra $D^-=\max(0.1,0,0.1,0.2,0.1)=0.2$. Vậy $D=0.2$.