solution

Kiểm định Kruskal-Wallis H là kiểm định phi tham số mở rộng của Mann-Whitney cho $k \ge 2$ mẫu độc lập, dùng để kiểm tra xem các mẫu có cùng phân phối hay không.

Cho $k$ nhóm, nhóm thứ $j$ có $n_j$ quan sát. Gộp toàn bộ $N=\sum_j n_j$ quan sát và xếp hạng (rank) tăng dần; giá trị trùng nhận hạng trung bình (average rank). Gọi $R_j$ là tổng hạng của nhóm $j$.

Thống kê H chưa hiệu chỉnh trùng: $H_0 = \frac{12}{N(N+1)} \sum_{j=1}^{k} \frac{R_j^2}{n_j} - 3(N+1)$

Hệ số hiệu chỉnh do giá trị trùng (tie correction): gọi các nhóm giá trị trùng nhau (kích thước $\ge 2$) có kích thước lần lượt $t_1, t_2, \dots$, thì: $C = 1 - \frac{\sum_i (t_i^3 - t_i)}{N^3 - N}$

nếu không có giá trị trùng nào thì $C=1$. Thống kê đã hiệu chỉnh: $H = H_0 / C$; quy ước nếu $C=0$ thì $H = H_0$.

Yêu cầu: Tính $H$ (đã hiệu chỉnh trùng) và bậc tự do $df = k-1$.

Ví dụ: 3 nhóm $A=(1,2,3)$, $B=(4,5,6)$, $C=(7,8,9)$ (không có giá trị trùng). $N=9$. Hạng: $A\to(1,2,3)$, $B\to(4,5,6)$, $C\to(7,8,9)$. $R_A=6, R_B=15, R_C=24$. $H_0 = \frac{12}{90}\left(\frac{36}{3}+\frac{225}{3}+\frac{576}{3}\right) - 30 = \frac{12}{90}\cdot 279 - 30 = 37.2-30=7.2$. Do không trùng nên $C=1$, $H=7.2$, $df=2$.