solution

Một nhà máy vận hành $k$ ca làm việc trong ngày (ca sáng, ca chiều, ca đêm, ...). Do các ca có thời lượng và cường độ khác nhau, ban quản lý quy định trước tỷ lệ lỗi kỳ vọng $p_1, p_2, \dots, p_k$ cho từng ca (với $\sum_{i=1}^{k} p_i = 1$), không nhất thiết bằng nhau.

Ghi nhận được số lỗi quan sát thực tế tại mỗi ca là $O_1, O_2, \dots, O_k$. Gọi $N = \sum_{i=1}^{k} O_i$ là tổng số lỗi quan sát được. Số lỗi kỳ vọng của ca $i$ là $E_i = p_i \cdot N$.

Hãy tính thống kê kiểm định Chi-bình phương phù hợp (goodness-of-fit) cho giả thuyết $H_0$: "lỗi phân bổ đúng theo tỷ lệ kỳ vọng đã định":

$\chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$

Ví dụ: Với $k=4$, $O = (25, 30, 20, 25)$, $p = (0.25, 0.25, 0.25, 0.25)$ thì $N = 100$, $E = (25, 25, 25, 25)$ và $\chi^2 = \frac{0^2}{25} + \frac{5^2}{25} + \frac{5^2}{25} + \frac{0^2}{25} = 2.0000$.