solution

Kiểm định số lần chạy (Runs Test) so với trung vị dùng để kiểm tra tính ngẫu nhiên của một dãy số liệu quan sát theo thời gian.

Cho dãy $n$ số thực $x_1,\ldots,x_n$ (giữ nguyên thứ tự xuất hiện). Tính trung vị $M$ của dãy theo quy tắc chuẩn: sắp xếp dãy tăng dần; nếu $n$ lẻ, $M$ là phần tử ở giữa; nếu $n$ chẵn, $M$ là trung bình cộng của hai phần tử ở giữa.

Duyệt dãy theo đúng thứ tự ban đầu, với mỗi phần tử $x_i$:

• Nếu $x_i = M$: bỏ qua phần tử này (không gán nhãn, không tính vào phân tích).
• Nếu $x_i > M$: gán nhãn "+".
• Nếu $x_i < M$: gán nhãn "-".

Gọi $n_1$ là số nhãn "+", $n_2$ là số nhãn "-". Gọi $R$ là số lần chạy (runs) trong dãy nhãn thu được — tức số đoạn con liên tiếp gồm cùng một nhãn (ví dụ dãy nhãn "+ + - - +" có $R=3$ lần chạy). Nếu không còn nhãn nào (mọi phần tử đều bằng $M$), quy ước $R=0$.

Số lần chạy kỳ vọng theo lý thuyết: nếu $n_1+n_2>0$ thì $E[R] = \dfrac{2n_1n_2}{n_1+n_2}+1$; nếu $n_1+n_2=0$ thì $E[R]=0$.

Ví dụ: dãy $(1,3,2,5,4,6)$: sắp xếp $= (1,2,3,4,5,6)$, $n=6$ chẵn nên $M=(3+4)/2=3.5$. Nhãn theo thứ tự gốc: $1<3.5\to{-}$, $3<3.5\to{-}$, $2<3.5\to{-}$, $5>3.5\to{+}$, $4>3.5\to{+}$, $6>3.5\to{+}$, tức dãy nhãn "- - - + + +" có $R=2$, $n_1=3$, $n_2=3$, $E[R]=2\cdot3\cdot3/6+1=4.0000$.