solution

Kiểm định so sánh hai tỷ lệ tổng thể. Nhóm 1 khảo sát $n_1$ đối tượng, ghi nhận $k_1$ đối tượng có đặc điểm quan tâm (ví dụ mắc bệnh, hài lòng với sản phẩm...); nhóm 2 khảo sát $n_2$ đối tượng, ghi nhận $k_2$ đối tượng có đặc điểm đó. Đặt $\hat p_1=k_1/n_1$, $\hat p_2=k_2/n_2$. Kiểm định giả thuyết $H_0: p_1=p_2$ đối $H_1: p_1\neq p_2$ dùng tỷ lệ gộp (pooled) $\hat p=\dfrac{k_1+k_2}{n_1+n_2}$ và thống kê:

$z=\dfrac{\hat p_1-\hat p_2}{\sqrt{\hat p(1-\hat p)\left(\frac1{n_1}+\frac1{n_2}\right)}}$

rồi tính p-value hai phía $p=2\bigl(1-\Phi(|z|)\bigr)$ với $\Phi$ là hàm phân phối chuẩn tắc. Kết luận bác bỏ $H_0$ khi $p\le\alpha$. Quy ước: nếu $\hat p=0$ hoặc $\hat p=1$ (mẫu số triệt tiêu) thì lấy $z=0$ (và khi đó $p=1$).

Ví dụ: $n_1=100,k_1=20,n_2=100,k_2=35,\alpha=0.05$: $\hat p_1=0.2,\hat p_2=0.35,\hat p=0.275$; $z\approx-2.3754$, $p\approx0.0175\le0.05$ nên kết luận Bac bo H0.