solution

Cho bảng tần số quan sát (bảng chéo) gồm $r$ hàng, $c$ cột, phần tử $O_{ij}\ge 0$ là tần số ứng với hàng $i$, cột $j$. Kiểm định giả thuyết hai tiêu thức phân loại độc lập với nhau:

$H_0:\ \text{hai tiêu thức độc lập} \qquad H_1:\ \text{hai tiêu thức không độc lập}$

Gọi tổng hàng $i$ là $R_i$, tổng cột $j$ là $C_j$, tổng toàn bảng là $N$. Tần số kỳ vọng theo giả thuyết độc lập:

$E_{ij}=\dfrac{R_i\cdot C_j}{N}$

Tiêu chuẩn kiểm định:

$\chi^2=\sum_{i=1}^{r}\sum_{j=1}^{c}\dfrac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}}, \qquad df=(r-1)(c-1)$

Giá trị tới hạn $\chi^2_{\alpha}$ (đã tra bảng với $df$ tương ứng) cho sẵn. Quy tắc: nếu $\chi^2\ge\chi^2_{\alpha}$ thì bác bỏ $H_0$ (không độc lập); ngược lại không bác bỏ (độc lập). Dữ liệu vào bảo đảm mọi $E_{ij}>0$.

Ví dụ: $r=c=2,\ \chi^2_{\alpha}=3.841$, bảng $\begin{pmatrix}50&30\\20&40\end{pmatrix}$: $df=1$, $\chi^2=11.6667$, bác bỏ $H_0$.