solution

Để đánh giá xem hai chiến dịch marketing (ở hai khu vực, hai nhóm dữ liệu độc lập) có tạo ra doanh thu khác biệt hay không, người ta dùng thống kê t của Welch (không giả định phương sai hai nhóm bằng nhau). Cho nhóm 1 gồm $n_1$ quan sát và nhóm 2 gồm $n_2$ quan sát. Gọi $\bar{x}_1, \bar{x}_2$ là trung bình mẫu và $s_1^2, s_2^2$ là phương sai mẫu hiệu chỉnh (mẫu số $n_i - 1$) của mỗi nhóm. Đặt:

$SE^2 = \frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}$

Thống kê kiểm định và bậc tự do Welch–Satterthwaite:

$t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{SE^2}}, \qquad df = \frac{(SE^2)^2}{\dfrac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1-1} + \dfrac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2-1}}$

Nếu $SE^2 = 0$ (nghĩa là cả hai nhóm đều có phương sai bằng $0$, tức mọi giá trị trong mỗi nhóm bằng nhau) thì kết quả không xác định.

Ví dụ: Nhóm 1: $100,102,98,105,101$; nhóm 2: $80,82,78,85,81$. Kết quả: $t \approx 12.2169$, $df \approx 8.0000$.

Input:

5
100 102 98 105 101
5
80 82 78 85 81

Output:

12.2169 8.0000