solution

Cho chuỗi thời gian $x_1, \ldots, x_n$ ($n \ge 1$, các giá trị có thể trùng nhau). Thống kê Mann-Kendall $S$ được định nghĩa là:

$S = \sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^{n} \operatorname{sgn}(x_j - x_i), \qquad \operatorname{sgn}(u) = \begin{cases} 1 & u > 0 \\ 0 & u = 0 \\ -1 & u < 0 \end{cases}$

(hai giá trị được coi là bằng nhau nếu trị tuyệt đối hiệu của chúng nhỏ hơn $10^{-9}$).

Gọi $C$ là số cặp $(i,j)$ với $i<j$ mà $x_j > x_i$ (cặp đồng biến), $D$ là số cặp mà $x_j < x_i$ (cặp nghịch biến), $T$ là số cặp mà $x_j = x_i$ (cặp bằng nhau). Rõ ràng $S = C - D$.

Xu hướng của chuỗi được phân loại dựa trên dấu của $S$: nếu $S>0$ kết luận TANG, nếu $S<0$ kết luận GIAM, nếu $S=0$ kết luận KHONG_XU_HUONG.

Yêu cầu: tính $S$, tính $C$, $D$, $T$, và đưa ra kết luận xu hướng.

Ví dụ: chuỗi $1\ 3\ 2\ 5\ 4\ 6$ ($n=6$) có $S=11$, với $C=13$, $D=2$, $T=0$, kết luận TANG. Kết quả in ra ba dòng:

11
13 2 0
TANG