solution

Kiểm định Mann-Kendall dùng để xác định chuỗi thời gian $y_1, \dots, y_n$ có xu thế tăng/giảm có ý nghĩa thống kê hay không, mà không giả định dạng hàm cụ thể. Thống kê kiểm định:

$S = \sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^{n} \operatorname{sgn}(y_j - y_i), \qquad \operatorname{sgn}(x) = \begin{cases}1 & x>0\\0 & x=0\\-1 & x<0\end{cases}$

Gọi $t_1, \dots, t_m$ là số phần tử của từng nhóm giá trị trùng nhau (ties) trong dãy (nhóm có đúng $1$ phần tử không tính). Phương sai có hiệu chỉnh ties:

$\operatorname{Var}(S) = \dfrac{n(n-1)(2n+5) - \sum_{k=1}^m t_k(t_k-1)(2t_k+5)}{18}$

Thống kê chuẩn hoá $Z$:

$Z = \begin{cases} \dfrac{S-1}{\sqrt{\operatorname{Var}(S)}} & S>0 \\[4pt] 0 & S=0 \text{ hoặc } \operatorname{Var}(S) \le 0\\[4pt] \dfrac{S+1}{\sqrt{\operatorname{Var}(S)}} & S<0 \end{cases}$

Kết luận xu thế với mức ý nghĩa $5\%$ (ngưỡng $1.96$): nếu $Z > 1.96$ kết luận TANG; nếu $Z < -1.96$ kết luận GIAM; ngược lại kết luận KHONG_XU_THE.

Ví dụ: với dãy $1,2,3,4,5$ ($n=5$, không có ties): $S=10$, $\operatorname{Var}(S) = 5\times4\times15/18 = 16.6667$, $Z=(10-1)/\sqrt{16.6667}\approx2.2045$, vì $Z>1.96$ nên kết luận TANG. In ra: 10 2.2045 TANG.