Bài tập | NEU OJ

Nghi ngờ một con xúc xắc 6 mặt bị làm lệch. Xét hai giả thuyết:

$H_0$ (công bằng): xác suất mỗi mặt là $1/6$ .
$H_1$ (bị lệch): xác suất xuất hiện mặt $i$ là $q_i$ cho trước ( $\sum_i q_i = 1$ ).

Xác suất tiên nghiệm xúc xắc bị lệch là $\pi = P(H_1)$ . Cho một chuỗi $n$ lần tung xúc xắc (các lần tung độc lập), hãy tính:

Hệ số Bayes (Bayes factor) $B = \dfrac{P(\text{dữ liệu}\mid H_1)}{P(\text{dữ liệu}\mid H_0)}$ .
Xác suất hậu nghiệm $P(H_1 \mid \text{dữ liệu})$ theo công thức Bayes:

$P(H_1\mid \text{dữ liệu}) = \frac{\pi \cdot P(\text{dữ liệu}\mid H_1)}{\pi \cdot P(\text{dữ liệu}\mid H_1) + (1-\pi)\cdot P(\text{dữ liệu}\mid H_0)}$

Định dạng đầu vào:
Dòng 1: số thực $\pi$ ( $0 \le \pi \le 1$ ). Dòng 2: 6 số thực $q_1, \dots, q_6$ (xác suất các mặt 1..6 dưới $H_1$ , tổng xấp xỉ 1). Dòng 3: số nguyên $n$ ( $n \ge 0$ ) — số lần tung. Dòng 4 (nếu $n>0$ ): $n$ số nguyên trong $[1,6]$ là kết quả từng lần tung theo thứ tự.
Định dạng đầu ra:
In ra một dòng gồm hai giá trị cách nhau bởi khoảng trắng: hệ số Bayes $B$ (làm tròn 6 chữ số thập phân; nếu $B$ vượt quá khả năng biểu diễn số thực chuẩn, in INF) và xác suất hậu nghiệm $P(H_1\mid\text{dữ liệu})$ (làm tròn 6 chữ số thập phân). Ví dụ: 410.062500 0.994342.

solution

Đề bài: [Xác suất - Thống kê] Kiểm định xúc xắc gian lận bằng hệ số Bayes