solution

Cho một mẫu gồm $n$ quan sát $x_1, x_2, \ldots, x_n$ (giả định xấp xỉ tuân theo phân phối chuẩn). Từ mẫu, tính:

• Trung bình mẫu: $\bar{x} = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$.
• Độ lệch chuẩn mẫu (hiệu chỉnh, mẫu số $n-1$): $s = \sqrt{\dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2}$ (quy ước $s=0$ nếu $n=1$).

Với mỗi quan sát $x_i$, tính điểm chuẩn hóa (z-score) $z_i = \dfrac{x_i - \bar{x}}{s}$ (quy ước $z_i=0$ với mọi $i$ nếu $s=0$). Một quan sát được gọi là ngoại lai (outlier) nếu $|z_i| > k$ với $k$ cho trước.

Ngoài ra, hãy so sánh tỉ lệ ngoại lai thực tế trong mẫu với tỉ lệ ngoại lai lý thuyết theo phân phối chuẩn tắc $Z \sim N(0,1)$:

$P(|Z| > k) = 2\left(1-\Phi(k)\right).$

Ví dụ: với $n=6$, $k=1$, dữ liệu $1,2,3,4,5,6$: $\bar{x}=3.5$, $s \approx 1.8708$. Hai quan sát $x=1$ ($z\approx-1.336$) và $x=6$ ($z\approx1.336$) có $|z|>1$ nên là outlier, các quan sát còn lại không phải. Vậy có $2$ outlier trên tổng $6$ quan sát (tỉ lệ thực tế $2/6=0.3333$), trong khi tỉ lệ lý thuyết $P(|Z|>1) \approx 0.3173$.