solution

Cho biến ngẫu nhiên rời rạc $X$ với bảng phân phối dạng phân số. Gọi $Y_1, Y_2$ là hai biến ngẫu nhiên độc lập, mỗi biến có cùng phân phối như $X$. Đặt $M = \max(Y_1, Y_2)$. Hãy tính $E(M)$ chính xác dưới dạng phân số tối giản.

Gợi ý: nếu $F$ là hàm phân phối tích lũy của $X$ (i.e. $F(x)=P(X\le x)$) thì $P(M \le x) = F(x)^2$ (do $Y_1,Y_2$ độc lập), từ đó suy ra phân phối của $M$.

Ví dụ: $X$ là kết quả tung một xúc xắc cân đối 6 mặt. Khi đó $E(M) = E[\max(Y_1,Y_2)] = 161/36$ (kết quả kinh điển của bài toán 2 xúc xắc).