solution

Một biến ngẫu nhiên liên tục $X$ được xác định bởi $n$ khoảng liên tiếp $[x_0,x_1], [x_1,x_2], \dots, [x_{n-1},x_n]$ (với $x_0 < x_1 < \dots < x_n$) và $n$ xác suất $p_1, \dots, p_n$ ($p_i \ge 0$, $\sum p_i = 1$), trong đó $p_i$ là xác suất để $X$ rơi vào khoảng $[x_{i-1}, x_i]$, và trong nội bộ mỗi khoảng $X$ phân phối đều (density không đổi $=p_i/(x_i-x_{i-1})$).

Đây là mô hình phân phối hỗn hợp đều từng khúc (piecewise-uniform mixture), một cách xấp xỉ liên tục hóa histogram. Hãy tính chính xác (bằng công thức đóng, không dùng tích phân số):

• $E[X]$: với mỗi khoảng $[a,b]$ có khối lượng xác suất $p$, đóng góp vào $E[X]$ là $p\cdot\dfrac{a+b}{2}$;
• $\operatorname{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2$: với mỗi khoảng, đóng góp vào $E[X^2]$ là $p\cdot\dfrac{a^2+ab+b^2}{3}$;
• Trung vị $m$: giá trị sao cho $P(X \le m) = 0.5$, tìm bằng cách cộng dồn $p_i$ đến khoảng đầu tiên khiến tổng dồn $\ge 0.5$, rồi nội suy tuyến tính trong khoảng đó.

Ví dụ: $n=2$, các mốc $-5, 0, 5$, xác suất $0.5, 0.5$ (đối xứng qua 0): $E[X]=0$, $\operatorname{Var}(X)=8.3333$, trung vị $=0$.