solution

Cho $X \sim \mathrm{Binomial}(n, p)$ với $p = a/b$ (không nhất thiết tối giản, $0 < a < b$). Xét biến ngẫu nhiên $Y = X \mid X \ge k$ — tức $X$ được điều kiện hóa trên biến cố $\{X \ge k\}$ (phân phối nhị thức cắt cụt / truncated binomial). Cụ thể:

$P(Y=i) = \frac{P(X=i)}{P(X\ge k)} = \frac{\binom{n}{i}p^i(1-p)^{n-i}}{\sum_{j=k}^{n}\binom{n}{j}p^j(1-p)^{n-j}}, \quad i = k, k+1, \dots, n$

Hãy tính $E(Y)$ và $\mathrm{Var}(Y)$ chính xác dưới dạng phân số tối giản (mọi phép tính đều dùng số học phân số chính xác, không làm tròn).

Ví dụ: $n=4$, $p=1/2$, $k=0$ (không điều kiện hóa gì cả, $Y \equiv X$): $E(Y) = np = 2$, $\mathrm{Var}(Y) = np(1-p) = 1$. In ra:

2
1