Bài tập | NEU OJ

Cho $X \sim B(n,p)$ và $Y \sim \text{Poisson}(\lambda)$ là hai biến ngẫu nhiên độc lập. Xét biến ngẫu nhiên $Z = aX + bY$ với $a, b$ là các hằng số thực cho trước.

Biết $E[X]=np$ , $\text{Var}(X)=np(1-p)$ , $E[Y]=\lambda$ , $\text{Var}(Y)=\lambda$ . Do $X, Y$ độc lập: $E[Z] = aE[X] + bE[Y], \qquad \text{Var}(Z) = a^2\text{Var}(X) + b^2\text{Var}(Y)$

Hãy tính $E[Z]$ và $\text{Var}(Z)$ .

Ví dụ: với $n=10$ , $p=0.5$ , $\lambda=4$ , $a=1$ , $b=1$ : $E[X]=5$ , $\text{Var}(X)=2.5$ , $E[Y]=4$ , $\text{Var}(Y)=4$ , nên $E[Z]=9.000000$ , $\text{Var}(Z)=6.500000$ .

Định dạng đầu vào:
Một dòng duy nhất gồm năm giá trị cách nhau bởi dấu cách: $n$ $p$ $\lambda$ $a$ $b$ , trong đó $n$ là số nguyên ( $0 \le n \le 100000$ ), $p$ là số thực ( $0 \le p \le 1$ , tối đa 6 chữ số thập phân), $\lambda$ là số thực ( $0 \le \lambda \le 10000$ , tối đa 6 chữ số thập phân), $a, b$ là số thực (có thể âm, tối đa 6 chữ số thập phân).
Định dạng đầu ra:
In ra một dòng duy nhất gồm hai giá trị $E[Z]$ và $\text{Var}(Z)$ cách nhau bởi một dấu cách, mỗi giá trị làm tròn đến đúng 6 chữ số thập phân.

solution

Đề bài: [Xác suất - Thống kê] Kỳ vọng và phương sai của tổ hợp tuyến tính