solution

Trong kinh tế học, phân phối Pareto thường được dùng để mô hình hoá thu nhập/tài sản. Biến ngẫu nhiên $X\sim Pareto(x_m,\alpha)$ với $x_m>0$ (giá trị tối thiểu) và $\alpha>0$ (tham số hình dạng) có hàm sống sót (survival function)

$\bar F(x)=P(X>x)=\left(\frac{x_m}{x}\right)^{\alpha}\ \text{ với } x\ge x_m,\qquad \bar F(x)=1\ \text{ với } x<x_m.$

Kỳ vọng có điều kiện (chỉ xác định khi $\alpha>1$):

$E[X\mid X>x]=\begin{cases}x\cdot\dfrac{\alpha}{\alpha-1}, & x\ge x_m\\[4pt] x_m\cdot\dfrac{\alpha}{\alpha-1}\ (=E[X]), & x<x_m\end{cases}$

(khi $x<x_m$, điều kiện $X>x$ luôn đúng nên kỳ vọng có điều kiện chính là kỳ vọng không điều kiện $E[X]=x_m\alpha/(\alpha-1)$).

Cho $x_m,\alpha$ và $n$ giá trị $x_1,\ldots,x_n$ (không đảm bảo $x_i\ge x_m$). Với mỗi $x_i$: in ra $P(X>x_i)$; nếu $\alpha>1$ in thêm (cách nhau một khoảng trắng) giá trị $E[X\mid X>x_i]$, ngược lại (nếu $\alpha\le 1$) in chuỗi KHONG_XAC_DINH thay cho giá trị kỳ vọng.

Ví dụ: $x_m=1,\alpha=2$, truy vấn $x=2$: $P(X>2)=(1/2)^2=0.25$, $E[X\mid X>2]=2\cdot 2/(2-1)=4$ $\Rightarrow$ dòng in ra là 0.250000 4.000000.