solution

Xét một hạt thực hiện bước đi ngẫu nhiên đơn giản (simple random walk) trên trục số nguyên, xuất phát từ vị trí $0$. Trong mỗi lần thử Monte Carlo, hạt thực hiện $\text{nstep}$ bước; ở mỗi bước, nếu số ngẫu nhiên tương ứng $u < 0.5$ thì hạt bước $+1$, ngược lại ($u \ge 0.5$) hạt bước $-1$.

Thực hiện $T$ lần thử độc lập (mỗi lần thử dùng một dãy $\text{nstep}$ số ngẫu nhiên riêng, cho sẵn ở input, không cần sinh). Gọi $P_1, P_2, \ldots, P_T$ là vị trí kết thúc của hạt sau $\text{nstep}$ bước ở từng lần thử. Hãy tính bằng phương pháp Monte Carlo:

1. Xác suất hạt trở về đúng vị trí $0$ sau $\text{nstep}$ bước: $\hat q = \dfrac{1}{T}\#\{i: P_i = 0\}$
2. Vị trí trung bình cuối cùng: $\bar P = \dfrac{1}{T}\sum_{i=1}^T P_i$
3. Độ lệch chuẩn mẫu của vị trí cuối: $s = \sqrt{\dfrac{1}{T-1}\sum_{i=1}^T (P_i-\bar P)^2}$

Quy ước: nếu $T=0$, cả ba giá trị bằng $0$. Nếu $\text{nstep}=0$, hạt vẫn ở vị trí $0$ (không đọc số ngẫu nhiên nào). Nếu $T=1$, độ lệch chuẩn mẫu quy định bằng $0$ (không chia cho $0$).

Ví dụ: $T=2, \text{nstep}=2$, lần thử 1 dùng 0.1 0.9 (bước $+1$ rồi $-1$ → $P_1=0$), lần thử 2 dùng 0.9 0.1 (bước $-1$ rồi $+1$ → $P_2=0$). Cả hai lần đều về $0$ nên $\hat q=1$, $\bar P=0$, $s=0$. Output: 1.000000 0.000000 0.000000.